) Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB và C là điểm thuộc (O) (C không trùng với A và B, CA > CB).Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. a) Gọi M là trung điểm của AC. Vẽ CH ⊥ AB tại H .Chứng minh: O, M, C, H cùng nằm trên một đường tròn . Xác định tâm I của đường tròn này. b) Tia AC cắt d tại E .Chứng minh EC.EA = EO2 – R 2 c) Gọi N là trung điểm CH ; tia AN cắt d tại F . Chứng minh FC là tiếp tuyến của đường tròn (I).
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta thấy \(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn AB. Vậy nên \(\widehat{ACB}=\frac{sđ\widebat{AB}}{2}=\frac{180^o}{2}=90^o\)
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại C.
b) Do M là trung điểm của dây cung AC. Theo tính chất đường kính, dây cung, ta có \(OM\perp AC\)
Xét tứ giác OMCH có \(\widehat{OMC}=\widehat{OHC}=90^o\) nên OMCH là tứ giác nội tiếp.
Đường tròn ngoại tiếp tứ giác trên có đường kinh là OC nên tâm I của đường tròn là trung điểm OC.
c) Xét tam giác vuông ABE có đường cao BC. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:
\(EC.EA=BE^2\)
Xét tam giác vuông BCE, theo định lý Pi-ta-go, ta có:
\(BE^2=OE^2-OB^2=OE^2-R^2\)
Vậy ta có ngay \(EC.EA=OE^2-R^2\)
d) Ta thấy CH // BE nên áp dụng định lý Talet ta có:
\(\frac{NH}{BF}=\frac{NC}{FE}\left(=\frac{AH}{AB}\right)\)
Lại có NH = HC nên BF = FE
Xét tam giác vuông BCE có CF là trung tuyến ứng vớ cạnh huyền nên FC = FB.
Vậy thì \(\Delta OCF=\Delta OBF\left(c-c-c\right)\Rightarrow\widehat{OCF}=\widehat{OBF}=90^o\)
hay CF là tiếp tuyến của đường tròn (I)
a, Học sinh tự chứng minh
b, N E C ^ = C B E ^ = 1 2 s đ C E ⏜
=> DNEC ~ DNBE (g.g) => ĐPCM
c, DNCH ~ DNMB (g.g)
=> NC.NB = NH.NM = N E 2
DNEH ~ DNME (c.g.c)
=> N E H ^ = E M N ^
d, E M N ^ = E O M ^ (Tứ giác NEMO nội tiếp)
=> N E H ^ = N O E ^ => EH ^ NO
=> DOEF cân tại O có ON là phân giác => E O N ^ = N O F ^
=> DNEO = DNFO vậy N F O ^ = N E O ^ = 90 0 => ĐPCM
a, HS tự làm
b, HS tự làm
c, IK = 1 2 CK = 1 2 AC.sinα = R.cosα.sinα
d, Giả sử BI cắt AM tại N. Vì IK//AM => MO = OP
=> 1 O I 2 = 1 O M 2 + 1 O N 2
= 1 O P 2 + 1 O N 2 = 1 O B 2 => M ≡ N